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Bohrer

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# 使用Python实现简单的RSA加密算法RSA是一种非对称加密算法，下面我将展示一个简单的RSA实现，包括密钥生成、加密和解密过程。```pythonimport randomimport mathfrom typing import Tupleclass SimpleRSA: def __init__(self, key_size: int = 64): """ 初始化RSA，生成密钥对 Args: key_size: 密钥大小（位），实际使用中应至少为1024位 """ self.key_size = key_size self.public_key, self.private_key = self.generate_keypair() def is_prime(self, n: int, k: int = 5) -> bool: """ 使用Miller-Rabin素性测试判断一个数是否为素数 Args: n: 要测试的数 k: 测试次数，次数越多准确率越高 Returns: True如果n很可能是素数，False如果n是合数 """ if n < 2: return False if n in (2, 3): return True if n % 2 == 0: return False # 将n-1写成d * 2^r的形式 r, d = 0, n - 1 while d % 2 == 0: r += 1 d //= 2 # 进行k次测试 for _ in range(k): a = random.randint(2, n - 2) x = pow(a, d, n) if x == 1 or x == n - 1: continue for _ in range(r - 1): x = pow(x, 2, n) if x == n - 1: break else: return False return True def generate_prime(self, bits: int) -> int: """ 生成指定位数的素数 Args: bits: 素数的位数 Returns: 一个素数 """ while True: # 生成一个奇数 num = random.getrandbits(bits) num |= (1 << bits - 1) | 1 # 确保最高位和最低位都是1 if self.is_prime(num): return num def gcd(self, a: int, b: int) -> int: """ 计算最大公约数（欧几里得算法） """ while b != 0: a, b = b, a % b return a def extended_gcd(self, a: int, b: int) -> Tuple[int, int, int]: """ 扩展欧几里得算法 Returns: (gcd, x, y) 使得 ax + by = gcd(a, b) """ if a == 0: return b, 0, 1 gcd, x1, y1 = self.extended_gcd(b % a, a) x = y1 - (b // a) * x1 y = x1 return gcd, x, y def modinv(self, a: int, m: int) -> int: """ 计算模逆元 a^(-1) mod m """ gcd, x, _ = self.extended_gcd(a, m) if gcd != 1: raise ValueError(f"模逆元不存在，因为gcd({a}, {m}) = {gcd}") return x % m def generate_keypair(self) -> Tuple[Tuple[int, int], Tuple[int, int]]: """ 生成RSA密钥对 Returns: ((e, n), (d, n)) 公钥和私钥 """ # 生成两个大素数 p = self.generate_prime(self.key_size // 2) q = self.generate_prime(self.key_size // 2) # 确保p和q不同 while p == q: q = self.generate_prime(self.key_size // 2) # 计算n和φ(n) n = p * q phi = (p - 1) * (q - 1) # 选择公钥指数e，通常为65537 e = 65537 while self.gcd(e, phi) != 1: e = random.randint(2, phi - 1) # 计算私钥指数d d = self.modinv(e, phi) # 公钥: (e, n), 私钥: (d, n) return (e, n), (d, n) def encrypt(self, message: int) -> int: """ 使用公钥加密消息 Args: message: 要加密的消息（整数） Returns: 加密后的密文 """ e, n = self.public_key if message >= n: raise ValueError(f"消息 {message} 太大，必须小于 n={n}") return pow(message, e, n) def decrypt(self, ciphertext: int) -> int: """ 使用私钥解密密文 Args: ciphertext: 要解密的密文 Returns: 解密后的明文 """ d, n = self.private_key return pow(ciphertext, d, n) def encrypt_string(self, message: str) -> list: """ 加密字符串 Args: message: 要加密的字符串 Returns: 加密后的密文列表 """ # 将字符串转换为整数列表 int_message = [ord(char) for char in message] # 加密每个字符 encrypted = [self.encrypt(num) for num in int_message] return encrypted def decrypt_string(self, ciphertext_list: list) -> str: """ 解密密文列表为字符串 Args: ciphertext_list: 密文列表 Returns: 解密后的字符串 """ # 解密每个密文 decrypted_ints = [self.decrypt(num) for num in ciphertext_list] # 将整数转换回字符 decrypted_chars = [chr(num) for num in decrypted_ints] return ''.join(decrypted_chars)def main(): """演示RSA加密解密过程""" print("=" * 50) print("RSA加密算法演示") print("=" * 50) # 创建RSA实例 rsa = SimpleRSA(key_size=64) # 注意：实际应用中应使用至少1024位 print(f"公钥 (e, n): {rsa.public_key}") print(f"私钥 (d, n): {rsa.private_key}") print() # 测试数字加密 test_number = 42 print(f"测试数字加密:") print(f"原始数字: {test_number}") encrypted = rsa.encrypt(test_number) print(f"加密后: {encrypted}") decrypted = rsa.decrypt(encrypted) print(f"解密后: {decrypted}") print() # 测试字符串加密 test_string = "Hello, RSA!" print(f"测试字符串加密:") print(f"原始字符串: {test_string}") encrypted_list = rsa.encrypt_string(test_string) print(f"加密后: {encrypted_list}") decrypted_string = rsa.decrypt_string(encrypted_list) print(f"解密后: {decrypted_string}") print() # 演示RSA的数学原理 print("=" * 50) print("RSA数学原理演示") print("=" * 50) # 获取密钥参数 e, n = rsa.public_key d, _ = rsa.private_key print(f"公钥指数 e = {e}") print(f"私钥指数 d = {d}") print(f"模数 n = {n}") print() # 验证加密解密公式 test_msg = 123 print(f"测试消息 m = {test_msg}") # 加密: c = m^e mod n c = pow(test_msg, e, n) print(f"加密: c = m^e mod n = {test_msg}^{e} mod {n} = {c}") # 解密: m = c^d mod n m = pow(c, d, n) print(f"解密: m = c^d mod n = {c}^{d} mod {n} = {m}") # 验证欧拉定理: m^(ed) ≡ m (mod n) print(f"\n验证欧拉定理: m^(e*d) ≡ m (mod n)") print(f"{test_msg}^({e}*{d}) mod {n} = {pow(test_msg, e*d, n)}") print(f"原始消息 m = {test_msg}") if pow(test_msg, e

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