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# 使用Python实现简单的RSA加密与解密下面是一个完整的Python程序，实现了RSA算法的密钥生成、加密和解密过程。这个实现包含了必要的数学函数和完整的示例。 ```python import random import math from typing import Tuple class SimpleRSA: def __init__(self, key_size: int = 512): """ 初始化RSA对象 :param key_size: 密钥大小（比特数），建议至少512位 """ self.key_size = key_size self.public_key = None self.private_key = None @staticmethod def is_prime(n: int, k: int = 5) -> bool: """ 使用Miller-Rabin素性测试检查一个数是否为素数 :param n: 要检查的数 :param k: 测试的迭代次数，影响准确性 :return: 如果可能是素数返回True，否则返回False """ if n < 2: return False if n in (2, 3): return True if n % 2 == 0: return False # 将n-1写成d * 2^r的形式 r, d = 0, n - 1 while d % 2 == 0: r += 1 d //= 2 # 进行k次测试 for _ in range(k): a = random.randint(2, n - 2) x = pow(a, d, n) if x == 1 or x == n - 1: continue for _ in range(r - 1): x = pow(x, 2, n) if x == n - 1: break else: return False return True def generate_prime(self, bits: int) -> int: """ 生成指定位数的素数 :param bits: 素数的位数 :return: 一个素数 """ while True: # 生成一个奇数 p = random.getrandbits(bits) p |= (1 << bits - 1) | 1 # 确保最高位和最低位都是1 if self.is_prime(p): return p @staticmethod def extended_gcd(a: int, b: int) -> Tuple[int, int, int]: """ 扩展欧几里得算法 :return: (gcd, x, y) 使得 ax + by = gcd(a, b) """ if a == 0: return b, 0, 1 gcd, x1, y1 = SimpleRSA.extended_gcd(b % a, a) x = y1 - (b // a) * x1 y = x1 return gcd, x, y @staticmethod def mod_inverse(a: int, m: int) -> int: """ 计算模逆元 a^(-1) mod m """ gcd, x, _ = SimpleRSA.extended_gcd(a, m) if gcd != 1: raise ValueError(f"模逆元不存在，因为gcd({a}, {m}) != 1") return x % m def generate_keys(self) -> Tuple[Tuple[int, int], Tuple[int, int]]: """ 生成RSA公钥和私钥 :return: ((e, n), (d, n)) 公钥和私钥 """ # 生成两个大素数 p = self.generate_prime(self.key_size // 2) q = self.generate_prime(self.key_size // 2) # 确保p和q不相等 while p == q: q = self.generate_prime(self.key_size // 2) # 计算n和φ(n) n = p * q phi = (p - 1) * (q - 1) # 选择公钥指数e，通常为65537 e = 65537 while math.gcd(e, phi) != 1: e = random.randint(2, phi - 1) # 计算私钥指数d d = self.mod_inverse(e, phi) self.public_key = (e, n) self.private_key = (d, n) return self.public_key, self.private_key @staticmethod def encrypt(message: int, public_key: Tuple[int, int]) -> int: """ 使用公钥加密消息 :param message: 要加密的消息（整数形式） :param public_key: 公钥 (e, n) :return: 加密后的密文 """ e, n = public_key if message >= n: raise ValueError("消息太大，无法用当前密钥加密") return pow(message, e, n) @staticmethod def decrypt(ciphertext: int, private_key: Tuple[int, int]) -> int: """ 使用私钥解密密文 :param ciphertext: 密文 :param private_key: 私钥 (d, n) :return: 解密后的消息 """ d, n = private_key return pow(ciphertext, d, n) @staticmethod def text_to_int(text: str) -> int: """ 将文本转换为整数 """ # 使用UTF-8编码将文本转换为字节，然后转换为整数 return int.from_bytes(text.encode('utf-8'), 'big') @staticmethod def int_to_text(number: int) -> str: """ 将整数转换回文本 """ # 计算所需的字节数 byte_length = (number.bit_length() + 7) // 8 bytes_data = number.to_bytes(byte_length, 'big') return bytes_data.decode('utf-8', errors='ignore').strip('\x00') def main(): """主函数：演示RSA加密解密过程""" print("=" * 60) print("RSA加密解密演示") print("=" * 60) # 创建RSA实例 rsa = SimpleRSA(key_size=256) # 使用256位密钥（演示用，实际应用应使用更长密钥） print("1. 正在生成RSA密钥对...") public_key, private_key = rsa.generate_keys() print(f" 公钥 (e, n): ({public_key[0]}, \n {public_key[1]})") print(f" 私钥 (d, n): ({private_key[0]}, \n {private_key[1]})") print() # 原始消息 original_message = "Hello, RSA! 你好，RSA！" print(f"2. 原始消息: '{original_message}'") # 将消息转换为整数 message_int = rsa.text_to_int(original_message) print(f" 消息转换为整数: {message_int}") print() # 加密 print("3. 使用公钥加密消息...") ciphertext = rsa.encrypt(message_int, public_key) print(f" 加密后的密文: {ciphertext}") print() # 解密 print("4. 使用私钥解密密文...") decrypted_int = rsa.decrypt(ciphertext, private_key) decrypted_message = rsa.int_to_text(decrypted_int) print(f" 解密后的整数: {decrypted_int}") print(f" 解密后的消息: '{decrypted_message}'") print() # 验证 if original_message == decrypted_message: print("✓ 加密解密成功！原始消息与解密消息一致。") else: print("✗ 加密解密失败！原始消息与解密消息不一致。") print("=" * 60) # 演示数字签名（简化版） print("\n5. 数字签名演示") print("-" * 40) # 对消息进行"签名"（实际上是用私钥加密） signature = rsa.decrypt(message_int, private_key) # 注意：实际签名会先哈希再加密 print(f" 对消息的签名: {signature}") # 验证签名（用公钥解密签名，应该得到原始消息） verified_message_int = rsa.encrypt(signature, public_key) verified_message = rsa.int_to_text(verified_message_int) print(f" 验证签名得到的消息: '{verified_message}'") if original_message == verified_message: print("✓ 签名验证成功！") else: print("✗ 签名验证失败！") print("=" * 60) if __name__ == "__main__": main() ``` ## 程序说明 ### 主要功能 1. **RSA密钥生成**： - 使用Miller-Rabin素性测试生成大素数 - 计算

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