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# 使用Python实现简单的RSA加密算法 RSA是一种非对称加密算法，下面我将展示一个简单的Python实现，并解释其原理。 ## RSA算法原理 RSA算法的核心基于： 1. 选择两个大素数 p 和 q 2. 计算 n = p × q 3. 计算欧拉函数 φ(n) = (p-1)(q-1) 4. 选择公钥指数 e，满足 1 < e < φ(n) 且 e 与 φ(n) 互质 5. 计算私钥指数 d，满足 d × e ≡ 1 mod φ(n) ## Python实现代码 ```python import random import math from typing import Tuple class SimpleRSA: def __init__(self, key_size: int = 1024): """ 初始化RSA密钥对 Args: key_size: 密钥大小（比特） """ self.key_size = key_size self.public_key = None self.private_key = None self.n = None def is_prime(self, num: int, k: int = 5) -> bool: """ 米勒-拉宾素性测试 Args: num: 要测试的数 k: 测试次数 Returns: bool: 是否为素数 """ if num < 2: return False if num in (2, 3): return True if num % 2 == 0: return False # 将 n-1 写成 2^r * d 的形式 d = num - 1 r = 0 while d % 2 == 0: d //= 2 r += 1 # 进行k次测试 for _ in range(k): a = random.randint(2, num - 2) x = pow(a, d, num) if x == 1 or x == num - 1: continue for _ in range(r - 1): x = pow(x, 2, num) if x == num - 1: break else: return False return True def generate_prime(self) -> int: """ 生成一个大素数 Returns: int: 素数 """ while True: # 生成一个奇数 num = random.getrandbits(self.key_size // 2) num |= (1 << (self.key_size // 2 - 1)) | 1 if self.is_prime(num): return num def extended_gcd(self, a: int, b: int) -> Tuple[int, int, int]: """ 扩展欧几里得算法 Args: a, b: 输入的两个数 Returns: Tuple: (gcd, x, y) 其中 ax + by = gcd(a, b) """ if b == 0: return a, 1, 0 else: gcd, x1, y1 = self.extended_gcd(b, a % b) x = y1 y = x1 - (a // b) * y1 return gcd, x, y def mod_inverse(self, a: int, m: int) -> int: """ 计算模逆元 Args: a: 要求逆元的数 m: 模数 Returns: int: a 在模 m 下的逆元 """ gcd, x, _ = self.extended_gcd(a, m) if gcd != 1: raise ValueError("逆元不存在") return x % m def generate_keys(self): """ 生成RSA密钥对 """ # 步骤1: 选择两个大素数 p = self.generate_prime() q = self.generate_prime() # 确保 p 和 q 不同 while p == q: q = self.generate_prime() # 步骤2: 计算 n = p * q self.n = p * q # 步骤3: 计算欧拉函数 φ(n) = (p-1)(q-1) phi = (p - 1) * (q - 1) # 步骤4: 选择公钥指数 e # 通常选择 65537，这是一个常用的公钥指数 e = 65537 # 确保 e 与 φ(n) 互质 while math.gcd(e, phi) != 1: e = random.randint(2, phi - 1) # 步骤5: 计算私钥指数 d d = self.mod_inverse(e, phi) # 保存密钥 self.public_key = (e, self.n) self.private_key = (d, self.n) return self.public_key, self.private_key def encrypt(self, message: int, public_key: Tuple[int, int] = None) -> int: """ 加密消息 Args: message: 要加密的消息（整数） public_key: 公钥 (e, n)，如果为None则使用自己的公钥 Returns: int: 加密后的密文 """ if public_key is None: if self.public_key is None: raise ValueError("未生成公钥") e, n = self.public_key else: e, n = public_key # 加密公式: c = m^e mod n if message >= n: raise ValueError("消息太大，无法加密") return pow(message, e, n) def decrypt(self, ciphertext: int, private_key: Tuple[int, int] = None) -> int: """ 解密密文 Args: ciphertext: 要解密的密文 private_key: 私钥 (d, n)，如果为None则使用自己的私钥 Returns: int: 解密后的明文 """ if private_key is None: if self.private_key is None: raise ValueError("未生成私钥") d, n = self.private_key else: d, n = private_key # 解密公式: m = c^d mod n return pow(ciphertext, d, n) def encrypt_string(self, message: str, public_key: Tuple[int, int] = None) -> list: """ 加密字符串 Args: message: 要加密的字符串 public_key: 公钥 Returns: list: 加密后的密文列表 """ # 将字符串转换为字节，然后转换为整数 message_bytes = message.encode('utf-8') message_int = int.from_bytes(message_bytes, 'big') # 加密 ciphertext = self.encrypt(message_int, public_key) return ciphertext def decrypt_string(self, ciphertext: int, private_key: Tuple[int, int] = None) -> str: """ 解密为字符串 Args: ciphertext: 密文 private_key: 私钥 Returns: str: 解密后的字符串 """ # 解密 message_int = self.decrypt(ciphertext, private_key) # 将整数转换回字节，然后解码为字符串 # 计算需要的字节数 byte_length = (message_int.bit_length() + 7) // 8 message_bytes = message_int.to_bytes(byte_length, 'big') return message_bytes.decode('utf-8') def main(): """ 演示RSA加密解密过程 """ print("RSA加密算法演示") print("=" * 50) # 创建RSA实例 rsa = SimpleRSA(key_size=256) # 使用256位密钥（实际应用中应至少2048位） # 生成密钥对 print("正在生成RSA密钥对...") public_key, private_key = rsa.generate_keys() print(f"公钥 (e, n): {public_key}") print(f"私钥 (d, n): ({private_key[0]}, ...)") print() # 加密解密整数 print("1. 整数加密解密演示") original_int = 123456789 print(f"原始整数: {original_int}") encrypted_int = rsa.encrypt(original_int) print(f"加密后: {encrypted_int}") decrypted_int = rsa.decrypt(encrypted_int) print(f"解密后: {decrypted_int}") print(f"解密是否正确: {original_int == decrypted_int}") print() # 加密解密字符串 print("2. 字符串加密解密演示") original_string = "Hello, RSA!" print(f"原始字符串: {original_string}") encrypted_string = rsa.encrypt_string(original_string) print(f"加密后 (整数形式): {encrypted_string}")

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